Java 详细讲解用堆解决Top-k问题

魁首哥

作者

1、什么是堆？

堆结构

堆其实就是一种二叉树，但是普通的二叉树是以链式结构进行储存数据的，而堆是以数组进行顺序存储数据的。那么什么样的二叉树才适合用顺序存储的方式呢？

我们假设一颗普通的二叉树可以用数组存储，那么就可以得到如下结构：

我们可以看到，当二叉树中间有空值时，数组的存储空间会被浪费，那么什么情况下空间才不会被浪费呢？那就是完全二叉树。

从以上结构中，我们不能用链式结构的指针来访问孩子节点或者父亲节点，只能通过对应下标来访问，其实也比较简单。

例如下图：

已知 2 节点的下标是1，那么

他的左孩子下标是：2 * 2 + 1 = 3

他的右孩子下标是：2 * 2 + 2 = 4

相反，已知 1 节点的下标是3，3 节点的下标是4，那么

1 节点的父亲节点下标是：(3 - 1) / 2 = 1

3 节点的父亲节点下标是：(4 - 1) / 2 = 1

大根堆 VS 小根堆

大根堆（最大堆）

大根堆保证，每颗二叉树的根节点都大于左右孩子节点

从最后一棵子树的根节点开始调整，来到每颗子树的根节点，使得每棵子树都向下调整为大根堆，最后再向下做最后调整，保证二叉树整体是大根堆（这个调整主要是为了后面的堆排序）。

具体调整过程如下：

怎么用代码实现呢？

我们首先从最后一棵子树调整，那么就要拿到最后一颗子树的根节点 parent ，我们知道数组最后一个节点下标是 len - 1，而这个节点是最后一棵子树的左孩子或者右孩子，根据孩子下标就可以拿到根节点下标( parent ) ，parent-- 就可以让每颗子树都进行调整，直到来到根节点，再向下调整最后一次，便可以得到大根堆。

// 将数组变成大根堆结构 public void createHeap(int[] arr){ for (int i = 0; i < arr.length; i++) { elem[i] = arr[i];// 放入elem[],假设不需要扩容 usedSize++; } // 得到根节点parent, parent--依次来到每颗子树的根节点， for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0; parent--) { // 依次向下搜索，使得每颗子树都变成大根堆 shiftDown(parent,usedSize); } } // 向下搜索变成大根堆 public void shiftDown(int parent,int len){ eGroZint child = parent*2+1;// 拿到左孩子 while (child < len){ // 如果有右孩子,比较左右孩子大小,得到较大的值和父节点比较 if (child+1 < len && (elem[child] < elem[child+1])){ child++; } // 比较较大的孩子和父节点,看是否要交换 int max = elem[parent] >= elem[child] ? parent : child; if (max == parent) break;// 如果不需要调整了，说明当前子树已经是大根堆了，直接 break swap(elem,parent,child); parent = child;// 继续向下检测，看是否要调整 child = parent*2+1; } } public void swap(int[] arr,int i,int j){ int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; }

小根堆（最小堆）

小根堆保证，每颗二叉树的根节点都小于左右孩子节点

调整过程同上。

优先级队列（PriorityQueue）

在java中，提供了堆这种数据结构（PriorityQueue），也叫优先级队列，当我们创建一个这样的对象时，就得到了一个没有添加数据的小根堆，我们可以向里面添加或者删除元素，每向里面删除或者添加一个元素，系统会整体进行一次调整，重新又调整为小根堆。

// 默认得到一个小根堆 PriorityQueue<Integer> smallHeap = new PriorityQueue<>(); smallHeap.offer(23); smallHeap.offer(2); smallHeap.offer(11); System.out.println(smallHeap.poll());// 弹出2，剩余最小的元素就是11，会被调整到堆顶，下一次弹出 System.out.println(smallHeap.poll());// 弹出11 // 如果需要得到大根堆，在里面传一个比较器 PriorityQueue<Integer> BigHeap = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() { @Override public int compare(Integer o1, Integer o2) { return o2 - o1; } });

2、top-k问题解决思路

例：有一堆元素，让你找出前三个最小的元素。

思路一：将数组从小到大排序，拿到数组前3个元素。但是可以发现这样时间复杂度太高，不可取。

思路二：将元素全部放入一个堆结构中，然后弹出三个元素，每次弹出的元素都是当前堆最小的，那么弹出的三个元素就是前最小的三个元素。

这种思路可以做，但是假设我有1000000个元素，只弹出前三个最小的元素，那么就要用到大小为1000000的堆。这么做空间复杂度太高，不建议用这种方法。

思路三：

我们需要得到三个最小的元素，那么就建一个大小为3的堆，假设目前的堆结构中刚好放满了3个元素，那么这三个元素就是当前最小的三个元素。假设第四个元素是我们想要的元素之一，那么前三个至少有一个元素不是我们想要的，就需要弹出，那么弹出谁呢？

我们要得到的是前三个最小的元素，所以当前堆结构中最大的元素一定不是我们想要的，所以这里我们建一个大根堆。弹出该元素，然后放入第四个元素，直到遍历完整个数组。

这样我们就得到了只含有前三个最小元素的堆，并且可以看到堆的大小一直都是3，而不是有多少数据就建多大的堆，然后再依次弹出元素就行了。

// 找前 k个最小的元素 public static int[] topK(int[] arr,int k){ // 创建一个大小为 k的大根堆 PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(k,new Comparator<Integer>() { @Override public int compare(Integer o1, Integer o2) { return o2 - o1; } }); for (int i = 0; i < arr.length; i++) { if (i < k){ // 放入前 k 个元素 maxHeap.offer(arr[i]); }else{ // 从第 k+1个元素开始进行判断是否要入堆 if (maxHeap.peek() > arr[i]){ maxHeap.poll(); maxHeap.offer(arr[i]); } } } int[] ret = new int[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { ret[i] = maxHeap.poll(); } return ret; }

以上就是top-k问题的基本思路，其他的类似问题也是这样解。