田忌赛马数学题概率及答案(田忌赛马的课堂笔记和思路)

“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马A1, B1, C1, 田忌也有上中下三匹马A2, B2, C2, 且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下: A1>A2>B1>B2>C1>C2(注:A>B表示A马与B马比赛, A马获胜). 一天,齐王找田忌赛马, 约宝:每匹马都出场比赛一局, 共赛三局,胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势,田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马,并采用孙膑的策略:分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛,即借助对降(C2A1, A2B1, B2C1)获得了整场比赛的胜利,创造了以弱胜强的经典案例:

假设齐王事先不打探田忌“出马”的情况,试回答以下问题:

(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”,他首局应该出哪种马才可能获得整场比赛的胜利?并求其获胜概率;

(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局“出马”情况,他是否必败无疑?若是,说明理由;若不是,请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况,并求其获胜的概率.

分析:与其说这是一道考数学求概率的能力的题目,不如说是一道考阅读能力的语文题目。这是福建中考的一道神题,如果你知道《田忌赛马》的故事,理解起来应该不难。

解:(1)田忌首局出“下马”才可能获得整场比赛的胜利.

【如果田忌首局出“上马”,则齐王“中马”必胜;如果田忌首局出“中马”,则田忌“下马”必败;所以只能出“下马”,否则加上首局的失败,整场比赛就必输无疑了。】

田忌获胜的概率为50%.

【即: C2A1, A2B1, B2C1田忌胜; C2A1, A2C1, B2B1齐王胜.】

(2)田忌未必失败.

田忌获胜必须同时满足C2A1, A2B1, B2C1, 三个对阵条件,

根据齐王出马的情况, 田忌获胜的所有对阵情况如下:

①C2A1, A2B1, B2C1; ②C2A1, B2C1, A2B1;

③A2B1, C2A1, B2C1; ④A2B1, B2C1, C2A1 ;

⑤B2C1, A2B1, C2A1; ⑥B2C1, C2A1, A2B1.

【共有六种获胜的对阵情况,接下来若要罗列所有的对阵情况,会相当麻烦,这时如果你对概率的求法有更多的了解,就可以比较简单的解决。否则就只有乖乖地列出所有36种可能了,既麻烦,又容易出错。当然,你也可以只探讨齐王先出“上马”的情形,然后用一个“同理可求”来得到齐王其它“出马”方式的概率。三个概率都是一样的,说明田忌获胜的概率就是这个概率。这样就可以减少2/3的工作量,只要列出12种可能就可能了,但这样会和上面罗列的田忌获胜所有对阵情况产生理解上的冲击】

由(1)可知,田忌第一局满足对阵条件后,有1/2的获胜概率,

而第一局不论齐王出什么马,满足对阵条件的概率为1/3,

∴田忌获胜的概率为P(田忌)=(1/2)×(1/3)=1/6.

发布于 2023-04-29 19:02:25
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