田忌赛马数学题概率及答案(田忌赛马的课堂笔记和思路)

“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒. 该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1, B1, C1, 田忌也有上中下三匹马A2, B2, C2, 且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A马与B马比赛, A马获胜). 一天，齐王找田忌赛马, 约宝：每匹马都出场比赛一局, 共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利. 面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对降(C2A1, A2B1, B2C1)获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例：

假设齐王事先不打探田忌“出马”的情况，试回答以下问题：

(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应该出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜概率；

(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局“出马”情况，他是否必败无疑？若是，说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

分析：与其说这是一道考数学求概率的能力的题目，不如说是一道考阅读能力的语文题目。这是福建中考的一道神题，如果你知道《田忌赛马》的故事，理解起来应该不难。

解：(1)田忌首局出“下马”才可能获得整场比赛的胜利.

【如果田忌首局出“上马”，则齐王“中马”必胜；如果田忌首局出“中马”，则田忌“下马”必败；所以只能出“下马”，否则加上首局的失败，整场比赛就必输无疑了。】

田忌获胜的概率为50%.

【即： C2A1, A2B1, B2C1田忌胜； C2A1, A2C1, B2B1齐王胜.】

(2)田忌未必失败.

田忌获胜必须同时满足C2A1, A2B1, B2C1, 三个对阵条件,

根据齐王出马的情况, 田忌获胜的所有对阵情况如下：

①C2A1, A2B1, B2C1； ②C2A1, B2C1, A2B1；

③A2B1, C2A1, B2C1； ④A2B1, B2C1, C2A1 ；

⑤B2C1, A2B1, C2A1； ⑥B2C1, C2A1, A2B1.

【共有六种获胜的对阵情况，接下来若要罗列所有的对阵情况，会相当麻烦，这时如果你对概率的求法有更多的了解，就可以比较简单的解决。否则就只有乖乖地列出所有36种可能了，既麻烦，又容易出错。当然，你也可以只探讨齐王先出“上马”的情形，然后用一个“同理可求”来得到齐王其它“出马”方式的概率。三个概率都是一样的，说明田忌获胜的概率就是这个概率。这样就可以减少2/3的工作量，只要列出12种可能就可能了，但这样会和上面罗列的田忌获胜所有对阵情况产生理解上的冲击】

由(1)可知，田忌第一局满足对阵条件后，有1/2的获胜概率，

而第一局不论齐王出什么马，满足对阵条件的概率为1/3,

∴田忌获胜的概率为P(田忌)=(1/2)×(1/3)=1/6.