3.一、详解一元函数为何:(偏导)

  要理解这些概念应该认真看教科书，告诉你在同济《高等数学》第五版看的地方，其它教材可以到相应的地方去找偏导。

3。一、详解一元函数为何:

(1)可导←→可微[上册p113，微分定义下面]

(2)可导→连续，连续/→可导[上册p84例9上面及例9]

二、详解二元函数为何:

(1)可微→可偏导，可偏导/→可微[下册p20定理1及下面的例子]

可偏导且偏导数连续→可微[把前面的“可偏导且”四个字去掉，下册p21定理2]

(2)可微→连续

证：∵可微，∴Δz=AΔx+BΔy+o[√(Δx^2+Δy^2)]

∵lim0,Δy–>0>Δz=0+0+0=0

∴连续。
  

连续/→可微[用举反例的方法解决，学高等数学的人在这里都不会发生疑问，因为在一元函数里已经解决了这个问题，故而书上没有举例]

连续+何条件→可微[+微分的定义，前面“连续”是多余的，应该去掉]

(3)连续←/→可偏导[下册p15最后一行起有可偏导、不连续的例子；连续、不可导的例子一元函数里多得很]

连续+何条件→可偏导[偏导数定义里的极限存在，不需要“连续”的条件]

可偏导+何条件→连续[函数连续定义里的条件，即极限存在且等于函数值，不需要“可偏导”的条件]

已经多次告诉你了，可偏导与连续之间没有关系，把没有关系的两个中的一个作为另一个的条件，不觉得会被人笑话吗？。
  

(2)可导→连续，连续/→可导

连续/→可导

是不正确的,如Y=X的绝对值,在X=0处,是不可导

总之,你对概念还没全弄清

  2。多元函数的值域是否为区间【说是一个实数集更妥当，在大多数情形下，初等函数的值域是区间或若干个区间的并】

3。一、详解一元函数为何:

(1)可导←→可微【书上有专门的定理，并严格给出了证明】

(2)可导→连续【书上有专门的定理，并严格给出了证明】

连续/→可导【书上有专门的例子，是y=|x|在x=0处】

二、详解二元函数为何:

(1)可微→可偏导【书上有专门的定理，并严格给出了证明】

可偏导/→可微【书上有专门的例子】

可偏导且偏导数连续→可微【书上有专门的定理，并严格给出了证明】

(2)可微→连续，【书上有专门的定理】

连续/→可微，【举一个连续但不可导的例子就行了】

连续+何条件→可微，【+可微定义里的那个式子，或+偏导数连续，但后者是充分条件】

(3)连续←/→可偏导，【都很容易举出例子的】

连续+何条件→可偏导，【偏导数定义里的极限存在】

可偏导+何条件→连续，【加可微或偏导数连续】

这些问题都应该去看书，书上讲得再明白不过了，这里怎么可能象书上写那么详细，如果书上写的看不懂，恐怕别人写的也看不懂的了。
  提问应该问书上没有写明白的东西，已经有明确结论，并且严格证明过的东西，还有必要问为什么吗——因为已经证明过了。

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