力学模型跷跷板?(跷跷板的原理儿童讲解)

跷跷板的原理儿童讲解

摘要：跷跷板可以看作是静力学中的杠杆模型，也可以看作是定轴旋转的一维刚体模型。在刚体动力学研究的基础上，将力学模型跷跷板视为两端自由均匀对称的两跨Euler计算这一类梁Euler梁的频率方程和位移函数的频率方程与铰接自由梁的频率方程完全相同，但由于梁跨度的增加，位移函数的自变量范围发生了变化。位移函数是关于梁的中点反对称的，而位移函数是唯一的，因为它与一个常数因子的差异。
关键词： 两端自由 位移函数 力学模型 双跨梁均匀对称 应用力学 跷跷板 频率方程
在日常生活中，跷跷板是一种常见的儿童玩具。在初中物理中，我们研究了跷跷板的静态平衡原理。本文特别讨论了与跷跷板相关的动力学问题。

力学模型跷跷板?

在大学力学课程之后，学生通常默认将跷跷板作为一维刚体，可以绕过轴旋转。事实上，在振动力学中，跷跷板可以简化为两端的均匀对称跨度Euler梁结构，也就是说，我们构建了一个新的弹性体模型。本文主要从刚体模型和Euler跷跷板的动力学研究分为两个层次。

文献[1]和文献[2]分别研究了两端的自由Euler文献[3]研究了梁离散模型和连续模型微振动的定性特性Euler梁离散模型的反振动问题。因此，机械模型跷跷板不仅具有教学研究价值，而且具有科学研究价值，包括振动的定性性质和振动的反问题领域。

1.将跷跷板视为定轴旋转的刚体模型

在经典力学教材[4]中，跷跷板被视为绕过中点轴线旋转的一维刚体，刚体的质量被设置为m，长度为2l(为了与以下内容保持一致)。定积分运算，这种刚体的旋转惯量是

其中，外力F主要包括两个人坐在跷跷板两端的重力，以及两个人轮流踏地时地面的反作用力。轴上的阻力矩和空气阻力被忽略。定轴旋转的刚体具有旋转定律：

假设t1时刻刚体的角参数量为θ1，角速度为ω1，而t2时刻刚体的角参量为θ2，角速度为ω2、刚体的角动量定理(1)和刚体轴旋转的动能定理(2)成立:

特例：当两个体重相等的人在跷跷板的两端对称地坐在中点，两个人的脚已经离开地面时，作用于刚体的外部扭矩为零。M=0无论是带入公式(2)还是公式(3)，都可以ω1=ω2，即角速度ω是常数c，也就是公式(1)中刚体的角速度β=0。

2.将跷跷板视为两端自由的均匀对称Euler梁

2.1Euler提出梁力学模型

有一等截面的均匀Euler梁，长度为2l，边界条件是两端自由，梁的中点有一个铰链支架，形成一个双跨梁。如果坐标原点位于梁的中点，则为自变量，其横向振动的模态方程为：

其中r(x)=E(x)I(x)是抗弯刚度，E(x)是杨氏模量，I(x)是截面的惯性矩，ρ(x)是密度函数。在本文中，r(x)和ρ(x)平均看成常数。W(x)是位移振型，λ=ω2A这个问题的特征值，ω圆频率，横截面积A为常数，x这是轴向坐标。

两端自由均匀两跨Euler梁具有以下边界条件：[5]

弯曲刚度为零是没有意义的，因此将边界条件简化为零

2.两端自由均匀对称Euler计算梁频率方程和位移函数

Euler梁的无阻尼自由振动满足方程(4)，其解为[6]

其中，有一个铰支座，因此，W(0)=0,W″(0)=0。计算得C1=C3=0。

可以通过边界条件计算出两端的均匀对称跨度Euler梁的频率方程为

(8)类型的结论与[6]中铰链自由梁的频率方程完全相同，这是一个超越方程。根据从小到大的顺序，前四个非凡解的数值解见文献[6]。前四个非凡解决方案的近似解为两端的均匀对称跨度Euler梁的位移函数计算结果为

文献[7]讨论了两端自由功能梯度梁的一种振动反应问题。本文计算了两端自由功能梯度梁的多项式位移函数，与过梁的中点和垂直于水平轴的直线对称。结合文献[7]和本文的讨论，我们可以得出结论:两端自由的对称跨度Euler梁的位移函数W(x)有两种模态：对称和反对称，在一个常数因子的意义下是唯一的。上述结论与振动力学理论[5]一致。

此外，还有一种常见的生活用具——用竹子或木头制成的扁担，也可以看作是两端自由的两个跨度Euler然而，由于扁担的特殊形状，它不属于均匀梁，因此不能像上面那样分析无阻尼自由振动方程。顺便说一下，把扁担当作悬臂梁是不合理的。

3、结语

本文建立了生活中常见的跷跷板Euler梁模型将研究对象从振动力学中常见的单跨梁扩展到多跨梁，其计算结果与通常的单跨梁结构不同。