什么是增广矩阵（增广矩阵是干嘛的）

增广矩阵，又称广置矩阵，是在线性代数中系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵，方程组唯一确定增广矩阵，通过增广矩阵的初等行变换可用于判断对应线性方程组是否有解，以及化简求原方程组的解。增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。

增广矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在解决一些实际问题时具有重要的应用价值。本文将对增广矩阵的定义、性质、生成方法以及应用进行详细的介绍。

一、增广矩阵的定义

增广矩阵是指在一个矩阵的左边或右边添加一行或一列得到的新矩阵。具体来说，如果原矩阵为A，那么在A的左边添加一行向量b得到的新矩阵称为A的左增广矩阵，记作[A|b]；在A的右边添加一列向量c得到的新矩阵称为A的右增广矩阵，记作[a|C]。其中，a和b分别是新添加的行向量和列向量，C是原矩阵A去掉第一行和第一列后得到的子矩阵。

二、增广矩阵的性质

1. 增广矩阵的行数等于原矩阵的行数加1，列数等于原矩阵的列数加1。

2. 增广矩阵的秩等于原矩阵的秩。

3. 如果原矩阵可逆，那么它的左增广矩阵和右增广矩阵也可逆。

4. 如果原矩阵是满秩的，那么它的左增广矩阵和右增广矩阵也是满秩的。

5. 如果原矩阵是奇异的（即不可逆），那么它的左增广矩阵和右增广矩阵也是奇异的。

6. 如果原矩阵是方阵，那么它的左增广矩阵和右增广矩阵也是方阵。

三、增广矩阵的生成方法

1. 直接法：根据增广矩阵的定义，直接在原矩阵的左边或右边添加一行或一列得到新的增广矩阵。

2. 初等变换法：通过对原矩阵进行初等行变换或初等列变换，将其化为阶梯形矩阵，然后在其左边或右边添加一行或一列得到新的增广矩阵。

3. 利用初等矩阵法：将原矩阵与一个初等矩阵相乘，然后在结果矩阵的左边或右边添加一行或一列得到新的增广矩阵。

四、增广矩阵的应用

1. 线性方程组求解：对于线性方程组Ax=b，我们可以将其写成增广矩阵的形式[A|b]x=0，然后通过高斯消元法求解该增广矩阵方程，得到解向量x。这种方法在计算机编程中被广泛应用，例如MATLAB中的`\`运算符就是用于求解线性方程组的。

2. 线性空间的基和维数：对于一个线性空间V，我们可以通过求解一组线性无关向量构成的矩阵Ax=0的增广矩阵方程，得到V的一个基。同时，增广矩阵的秩等于V的维数减去1。

3. 线性映射：在线性代数中，线性映射可以用一个m×n的矩阵表示。当我们需要研究线性映射在某个方向上的投影时，可以将该方向上的单位向量作为增广矩阵的一部分，从而方便地计算投影值。

总之，增广矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在解决一些实际问题时具有重要的应用价值。了解增广矩阵的定义、性质、生成方法以及应用，对于学习和掌握线性代数知识具有重要意义。