圆和等腰三角形结合的题(圆与相似三角形综合题解题方法)

各位朋友，大家好！此前一段时间，数学世界为大家分享的都是小学数学题，现在，数学世界将持续为大家解析初中数学题，希望对广大初中生学好数学提供一些帮助！今天，数学世界分享一道与圆有关的几何综合题，由于很多学生看到几何题就害怕，经常就是看着题目发呆，想要学好数学，必须改变这种状态。

一直以来，数学世界都是精选一些数学题分享给大家，目的是希望由此激发学生们学习数学的兴趣，并能给广大学生的学习提供一点帮助！接下来，数学世界就与大家一起来看看吧！

例题：（初中数学几何综合题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC=2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小.

知识回顾

垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

分析：（1）要证∠BAC=2∠ABD即证1/2∠BAC=∠ABD，由图可知，连接OA，只要推出AO平分∠BAC即可．可以利用垂径定理以及等腰三角形的性质来解决问题．

（2）出现等腰三角形时，往往需要分情况讨论：①若BD=CB，则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．

我们想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（1）证明：如图1，连接OA，

∵AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，

∴弧AB=弧AC，

∴OA⊥BC，（平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦）

∴AO平分∠BAC，（等腰三角形三线合一）

即∠BAO=∠CAO，

∵OA=OB，

∴∠ABD=∠BAO，

∴∠BAC=2∠ABD．

（2）解：当△BCD是等腰三角形时，

①若BD=CB，则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=2∠ABD，

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，

∴8∠ABD=180°，

∴∠BCD=3∠ABD=67.5°．

②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，

∴∠BCD=∠ABD+∠CBD=4∠ABD，

∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°，

∴10∠ABD=180°，

∴∠BCD=4∠ABD=72°．

③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．

综上所述，∠BCD为67.5°或72°．

（完毕）

这道题属于圆的综合题，考查了垂径定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。