初中物理匀速直线运动典型例题(物理机械运动例题)

04-04-11_小车竖直圆周运动摩擦力做功本期高中物理竞赛试题，我们共同来研究一下变力做功问题的微分解题思路，其实在竞赛题目中，很少使用功元的方式求解做功多少的，本期题目还是属于并不多见的内容之一，究其原因主要是该方法必定要与微积分的计算过程相联系

04-04-11_小车竖直圆周运动摩擦力做功

本期高中物理竞赛试题，我们共同来研究一下变力做功问题的微分解题思路，其实在竞赛题目中，很少使用功元的方式求解做功多少的，本期题目还是属于并不多见的内容之一，究其原因主要是该方法必定要与微积分的计算过程相联系，这种思路并不是高中物理竞赛种非常推荐的思路，对于本期的这个题目，小编也考虑过很多其它的方法来解决这个题目，尽量避免使用微积分的原理来计算求解，但是都没有成功，这里小编将这个题目分享出来，也希望同学们能够想出相关的方法后，能够分享给其它同学，共同进步与成长。近期由于小编有些别的事，导致最近几期题目并没有每天都发，这里小编也非常抱歉，以后会尽量保持每天一篇的周期，给各位有志于物理竞赛的同学们分享更好的优秀高中物理竞赛解题方法和思路。

对于本期的题目，就微分的解题思路而言，并没有什么非常复杂的分析过程和思路，主要的难点其实还是集中在积分计算过程中的，并且这个题目中的积分计算还有一个技巧，这里小编在后面的具体解题过程中，会做非常详细的说明，这里小编先卖个关子，在解题思路上，这个题目几乎没有思路可说，完全就是高中物理题的水平，虽然是这样，但是在列方程过程中，也顺带着考查了学生的微分列方程的思想。

典型例题与解题步骤

如图1所示，质量为 m 小车以恒定速率 v 沿半径为 R 的竖直圆环轨道运动，已知动摩擦因数为 u ，试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功。

高中物理竞赛典型例题解题方法与思路

上面的解题过程同学们都看完了吧，就这个解题过程而言，其中主要的物理知识就只有两个，一个是牛顿第二定律的应用，具体通过受力分析找到哪些力提供向心力，另一个就是受力平衡，由于整个过程中，小车都在轨道上做匀速圆周运动，因此在运动过程中，各个位置，在切线方向上是平衡的，这样就能够得到受力平衡方程和牛顿第二定律方程，这两个方程联立，并结合摩擦力的定义式，就能得到在运动过程中的摩擦力的大小，但是这里要注意一点儿，题目中小编选取的物体所处的位置在圆形轨道的下部，这样由受力分析可以发现，支持力与重力的分量的差值提供向心力，而如果物体位置处于圆形轨道的上部，由受力分析不难发现，其受到的支持力和重力的和提供向心力，也就是说，题目中方程二的一项，其符号在运动过程中，是发生变化的。

后面考虑摩擦力的做功过程，这里摩擦力的作用方向肯定是垂直于半径方向的，考虑到实际的运动方向，此处摩擦力作用下的运动方向应该是一个小弧长，假设在转过一个很小角度的过程中，近似的保持匀速直线运动，且受力并不发生变化的情况下，就能够得到摩擦力在转过这个小角度的过程中所做的功，也就是方程三种的过程，代入上面的摩擦力的表达式，就很容易得到摩擦力在运动过一个小角度过程中所做的功的表达式，也就是题目中的方程四。

后面就是积分的过程了，这里上面的一点要多说一下，由于摩擦力的表达式中，有一项的符号与物体所在位置有关，因此其实对于方程四的积分能不能在整个运动过程中积分还是需要考虑的，最好的方式就是分开做，也就是先积分完成小车在下半个圆环上的运动过程中的摩擦力做功，再积分完成上半个圆周运动过程中的摩擦力做功，最后加起来就得到答案了。但这个式子能不能完成整个运动过程中的积分运算呢？其实是可以的，这里小编给同学们一个小技巧，就是看看这个题目中当角度趋近于零时，你所计算的表达式是不是取得相对应的函数表达式的极限值，如果是与极限值相对应的，就能够直接积分计算，如果是不对应的，就需要分开求，这就在分开求解的过程中，就不用考虑符号的问题了，很多时候在正弦余弦函数的积分过程中，有时其实只是面积的计算，不考虑符号，有时是需要考虑符号的，积分结果就有可能是零。